随机游走模型的介绍

1. 随机游走模型的介绍

随机游走模型假设各时期的收益率是独立的，并且不同时期的收益率的分布是相同的。为了更形象的理解随机游走模型，想想轮盘赌的转盘上表明了各种不同的收益率，每一期转动轮盘，就可以会根据轮盘上的标注获得下一期相应的收益。但每次转动轮盘的结果间是没有联系的，所以过去的收益率和未来的收益率是不相关的。但是由于每次转动的轮盘是相同的，所以各轮的收益率都服从相同的分布。

2. 随机游走的随机游走模型

 随机游走本来是“物理上布朗运动”相关的分子，还是微观粒子的运动形成的一个模型。现在过多的谈到随机游走假说是数理金融中最重要的假设，它把有效市场的思想与物理学中的布朗运动联系起来，由此而来的一整套的随机数学方法成为构建数理金融的基石。（其研究的机理已经在股票研究中应用很广泛） 随机游走模型的提出是与证券价格的变动模式紧密联系在一起的。最早使用统计方法分析收益率的著作是在 1900年由路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）发表的，他把用于分析赌博的方法用于股票、债券、期货和期权。在巴舍利耶的论文中，其具有开拓性的贡献就在于认识到随机游走过程是布 朗运动。1953年，英国统计学家肯德尔在应用时间序列分析研究股票价格波动并试图得出股票价格波动的模式时，得到了一个令人大感意外的结论：股票价格没 有任何规律可寻，它就象“一个醉汉走步一样，几乎宛若机会之魔每周仍出一个随机数字，把它加在目前的价格上，以此决定下一周的价格。”即股价遵循的是随机 游走规律。随机游走模型有两种，其数学表达式为 ：Y t =Y t-1 +e t ①Y t =α+Y t-1 +e t ②式中：Y t 是时间序列（用股票价格或股票价格的自然对数表示）；e t 是随机项，E(e t )=0；Var(e t )=σ 2 ；α是常数项。模型①称为“零漂移的随机游走模型”，即当天的股票价格是在前一天价格的基础上进行随机变动。股票价格差全部包含在随机项 e t 中。模型②称为“α漂移的随机游走模型”，即当天的股票价格是在前一天价格的基础上先进行一个固定的α漂移，再进行随机变动。股票价格差包括两部分，一部分是固定变动α，另一部分也是随机项 e t 。由以上随机游走模型可以看出，证券价格的时间序列将呈现随机状态，不会表现出某种可观测或统计的确定趋势。即证券价格的变动是不可预测的，这恰恰是随机 游走模型所揭示的证券价格变动 规律 的中心思想。那么，随机游走模型下所确定的证券价格的这一变动模式与资本市场的效率性之间是什么关系呢？随机变动的证券价格，不仅不是市场非理性的证据， 而正是众多理性的投资者开发有关信息，并对其做出反映的结果。事实上，如果证券价格的变动是可以预测的，那才真正说明市场的无效率和非理性。也就是说，若 证券市场是有效率的，证券价格应当真正符合随机游走模型。t）=0，而这正是独立随机过程所必须的条件。然而当H≠1/2时，不管t取何值，C（t）≠0。分数布朗运动的这一特征，导致了状态持续性或逆状态持续性。当H>1/2时，存在状态持续性，即在某一时刻t以前存在上升（或下降）趋势隐含着在时刻t以后总体上也存在着上升（或下降）的趋势；反之，当H<1/2 时存在逆状态持续性，即在某一时刻t以前存在上升（或下降）趋势隐含着在时刻t以后总体上也存在着下降（或上升）的趋势进一步地，应用R/S分析法，可以确定信息的两个重要方面，Hurst指数H和平均的周期长度。周期的存在对于进一步的讨论分析具有重要影响。当H≠1 /2时，概率分布不是正态分布；当1/2<H<1时，时间序列是分形。分维时间序列不同于随机游走，它是有偏的随机过程，其偏离的程度取决于H大于1/2 的程度，并且随着H逐步逼近1状态持续性逐步增强。值得指出的是，R/S分析法是十分有效的工具，不必假定潜在的分布是高斯分布。H=1/2并不能说明时间序列是一个高斯随机游走，仅表明不存在长期记忆。 如果随机游走不再适用，那么许多数量分析的方法将失去效用，尤其是CAPM和以方差或波动程度度量的风险概念。通过以上的论述，得到下列基本结论：1．对有效市场假说，α必须始终等于2；而对分形市场分析，α可以在1到2之间变化。这是有效市场假说与分形市场分析对市场特性认识的主要区别。正是由于α的分数维性质充分反映了市场本身所具有的特性2．分形市场分析不必依赖于独立、正态或方差有限的假设。3．应用R/S分析法，可以确定信息的两个重要方面，Hurst指数H和平均的周期长度。4．公众对于信息以非线性方式作出反应，因而有偏的随机游走是市场的常态，表现为分数布朗运动。5．对于随机游走的偏离程度取决于指数H。本文从对EMH的产生及其发展讨论出发，从分形的角度探讨市场特性的分形市场分析方法及其所反映的市场特性，推广了资本市场理论，认为市场是分形的，服 从分数布朗运动，即有偏的随机游走，其研究方法可以采用R/S分析法。公众对于信息以非线性的方式作出反应，因而呈现出对信息的不一致性消化、吸收，导致 对随机游走的偏离，并表现为市场的常态。

3. 随机游走模型的注意事项

随机游走模型比公平博弈模型要求更加严格：在公平博弈模型中并没有要求各期的收益率要服从相同的分布，也没有要求各收益率见保持相互独立。举例儿来说，一家公司可以在连续数期内通过不断增加负债进而增大风险使得期望收益率和实际收益率不断增长。在此例中，我们可以观察到收益序列具有相关性，也就是历史收益率可以被用来对未来收益率作出预测。但是，由于期望收益率的提高是源于证券风险的增加，因而这样的信息并不能用来获取超额收益。如果随机游走模型假说成立，那么弱型有效市场假说也一定成立，即支持随机游走模型的证据同样可以用来支持对历史收益率的市场有效性的检验。